Edge math

Я вообще-то математик, позанимаюсь что ли математикой...

I am mathematician after all, let me do some math...

При заточке точильный камень снимает с помощью абразивных элементов материал с клинка. Каждый абразивный элемент оставляет после себя бороздку на поверхности стали. Чем грубее камень тем крупнее абразивные элементы и тем глубже бороздки, чем нежнее камень, тем мельче абразивные элементы и тем мельче бороздки. после обработки на точильном камне обработанная поверхность режущей кромки представляет из себя сплошной ряд бороздок, своего рода гармошку, но менее регулярную. противоположенная сторона та же гармошка. Обе сходяться на самой режущей кромке, как сходяться две стороны гармошки. Получается ломаная линия, не такая ровная как у ребра гармошки, но того же плана.

During sharpening whet stone abrasive elements take off steel from blade. Each abrasive element left groove on edge surface. Coarser grit - deeper groove, finer grit - shallow grooves. After sharpening, side of the edge is all covered by grooves, like accordion side, but less regular. Opposite side looks same. Both sides meet each other on very edge like two sides of accordion. So very edge is zig-zag line not as regular as accordion edge, but similar.

На предыдущей картинке ломаная режущей кромки расположено в горизонтале, поскольку стороны здесь в противофазе как у нормальной гармошки. При этом варианте зубцов как таковых нет вообще - никаких вариаций по вертикали (в плоскости клинка). Конечно на реальной РК стороны могут быть какими угодно, на одной стороне бороздки могут накладываться друг на друга, никакой повторяемости и никаких фаз, единственно что можно допустить более менее уверенно что глубина бороздок не больше чем размер абразивных элементов. Пример настоящей режущей кромки из сложенной бумаги для меня соорудить будет наверно слишком сложно, но вариант когда обе стороны в одной фазе я сделал.

On previous picture zig-zag line of very edge is pure horizontal - side are in counter phases like on real accordion. So there are no any teeth at all - no variations in vertical (blade plane). Of course real sides of the edge may be any, grooves may lay on each other and no repetitive pattern at all, no phases, only one thing certain or granted - grooves depth is no bigger then abrasive elements size. It would be too complicated for me to make real edge example with folded paper, so let me do one where sides are hypothetically in same phase. 

Настоящая режущая кромка будет где то между этими двумя примерами - ее зубцы не будут больше чем в этом примере когда стороны имеют бороздки максимальной глубины и они повторяются в одной фазе. ну и не меньше нуля - когда бороздки сторон повторяются в противофазе нивилируя друг друга.

Real edge would be somewhere in between of this examples - teeth would not be bigger then here - when both sides have maximum depth grooves and repeated in same phase, and they would not be less then zero when grooves on both sides are in counter phases, compensating each other vertical variations.

С этого ракурса хорошо видно что даже в идеальном варианте, когда зубцы от заточки получаются максимальных размеров, все равно не приходиться говорить о микропиле - это не зубья как у пилы или даже серрейтора - что скорее как горные пики. Широкие эти зубья слишком. Кроме того я думаю что на реальной стали эти пики вовсе не будут такими острыми.  Там ведь как то образуется заусенец и даже при аккуратном его удалении наверняка таких математически идеальных пиков не получиться. Я про сопромат ничего не знаю - а было бы интересно посчитать нагрузки на эти гипотетические зубчики и оценить реально их прочность. Но без этого попробую консервативный подход и забыть на время о зубчиках.

From this point it is very clear that even in ideal case, when teeth from sharpening are maximum, it is still hard to call it micro saw - this is not saw teeth, or even serreitor - it is more like mountain picks. They are kind of wide.  Also I am pretty sure that on real steel those pick not as sharp as in that example. It will be burr, and even with accurate removal, they would not be so mathematically ideal. I am not engineer and do not have knowledge about material properties etc - but it wwould be worse to calculate what kind of load those hypothetical teeth may have and how they may stand it. But for now let me try conservative approach and forget about teeth for now.

Отвлечемся от того какую роль играют зубья ломаной линия на стыке сторон режущей кромки, в кнце концов это зависит от масштабов. Понятно что ломаная линия там будет всегда, но границы в которых эта ломанная существует могут быть настолько близки что ее уже можно считать прямой. Вот на этой иллюстрации ломаная постепенно уменьшается и превращается в прямую линию с практической точки зрения.

Let's not think about what role teeth of zig-zag edge line plays, after all it depends on scale. It is clear then some kind of zig-zag line will be there always, but it vary in between certain borders, and when those borders very close to each other- we can think about this zig-zag line as it is straight line. Let me illustrate it on this picture - magenta edge zig-zag line steps gets smaller and smaller and finally it is like straight from practical point of view.

Будем рассматривать режущую кромку не как ломаную линию, а как полосу междк границами в которых эта ломаная линия колебается. Эти границы - две параллельные прямые линии - прямые - потому что мы исходит из того что поверхность точильного камня ровная и плоская из которой выступают как зубья абразивные элементы. Обе эти границы параллельны пересечению сторон режущей кромки. Будeм рассматривать эту полосу отвлеченно от того полоса ли это на самом деле или внутри нее идет ломаная зубчатая линия. Эта плоская полоса не сможет строгать волос если она где то такой же ширины - см волос слева на следующей иллюстрации, но вполне может это делать если ее ширина гораздо меньгше толщины волоса - см. волос справа на следубщей иллюстрации.

Let think about Edge, not like 3D zig-zag line, but like flat bar between this line borders. Those borders are two parallel straight lines - we assume that stne surface is flat and only certain size abrasive element stick out like teeth. Both this border lines are parallel to intersection of edge sides. Let's forget that there is some toothy thing is in between those borders, but think like it is flat bar. This flat bar will not whittle hair if it is same width - see left hair on next illustration, but it would be possible if it is much smaller then hair thickness - see right hair on the next illustration.

Красный отрезок - это ширина полосы режкщей кромки. Она же высота треугольника образованного двумя фиолетовыми отрезками ломаной линии режущей кромки. Зелеными линиями помечена гипотетическая бороздка от абразивного элемента - синий треугольни это ее перпендикулярное сечение и оранжевый отрезок это глубина бороздки или размер абразивного элемента. Длина красного отрезка - ширина полосы режущей кромки есть длина оранжевого отрезка поделенная на косинус половины угла заточки, то есть размер абразивного элемента поделенный на косинус половины угла заточки.

Red line - edge bar width (height of triangle made by two ribs of edge zig-zag line). By green I mark groove made by abrasive element - blue triangular is it's cross section, so orange line is it's depth or size of abrasive element. Length of red line - which is edge bar width is length of orange line divided by Cos() of half of edge angle

Вот ширина режущей кромки для разных углов заточки:

Here edge width for different edge angles:

EdgeWidth = AbdaziveSize / cos( EdgeAngle).

EdgeWidth = 9 microns / cos( 20 / 2 ) = 9.14 microns
EdgeWidth = 9 microns / cos( 30 / 2 ) = 9.32 microns
EdgeWidth = 9 microns / cos( 40 / 2) = 9.58 microns

EdgeWidth = 9 microns / cos( 50 / 2) = 9.93 microns

Разница не значительная.

Difference is minor.

Продолжение следует...

To be continued...